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公交车悖论

问题小明家住在公交站旁边，每天通过公交车出行。公交车在行车路线上循环开动永不停歇，而小明则随机均匀的到达公交站等车。试想，如果公交车每两班之间的时间间隔是精确的 10 分钟，那么小明多次等车后会发现自己的平均等车时间是 5 分钟。现在，假设公交车的到站数量满足泊松分布，即每两班之间的时间间隔满足均值为 10 分钟的指数分布，请问小明多次等车后观察到的平均等车时间应当为多少？解答在下文中，我将使用 $p(t)$ 来表示公交车每两班之间时间间隔满足的概率分布，用 $q(t)$ 表示小明所落入的时间区间满足的概率分布，且用 $\langle \cdots \rangle_p$ 和 $\langle \cdots \rangle_q$ 分别表示概率分布 $p$ 和 $q$ 下的均值。根据问题信息，$p(t)$ 是均值为 10 分钟的指数分布，因此有 $\langle t \rangle_p = 10 \text{ min}$. 根据指数分布的性质，我们还可以得到 $\operatorname{Var}[t]_p = 100 \text{ min}^2$. 首先，由于小明是均匀且随机的到达公交站

数学·科研 · 30 天前 · 161 人浏览

过阻尼 Langevin 方程的路径积分形式

一些前置概念请见随机分析、Langevin 方程与 Fokker-Planck 方程。1. 两个路径积分的例子1.1. Ito 积分形式的路径积分例子考虑过阻尼 Langevin 方程$$ \dot{x}(t) = f(x(t)) + g(x(t))\xi(t), $$其中 $\xi(t)$ 为白噪声，满足 $\langle \xi(t) \rangle = 0$，$\langle \xi(t)\xi(t') \rangle = 2D\delta(t-t')$.考虑将时间做离散化处理，将时间区间 $[0, \tau]$ 等分为 $K$ 份，即 $\tau = K\Delta t$，简记 $t^k \equiv k\Delta t$，$x^k \equiv x(t^k)$. 将离散化后的 Langevin 方程记为$$ x^{k+1} - x^{k} \overset{(\alpha)}{=} f(\bar{x}^k)\Delta t + g(\bar{x}^k)\Delta \omega^k, $$其中 $\alpha$ 涉及到随机积分的表达形式（稍后会提到）， $\Delta \om

物理·数学·科研 · 02-19 · 453 人浏览

随机过程的修正与不可分辨性

考虑定义在同一个概率空间 $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ 上的两个随机过程 $X$ 和 $Y$。若对于任意时间 $t\ge 0$ 和样本 $\omega \in \Omega$ ，都有 $X_t(\omega) = Y_t(\omega)$，那么我们称随机过程 $X$ 和 $Y$ 相等。在概率测度 $P$ 的意义下，我们还可以定义一些更弱的“相等”：若对任意 $t \ge 0$，有 $P[X_t = Y_t] = 1$，则称随机过程 $Y$ 是 $X$ 的修正；过程 $X$ 和 $Y$ 不可分辨，若它们几乎所有的轨迹相同：$$ P[X_t = Y_t; \forall 0\le t < \infty] = 1. $$“不可分辨”的条件比“修正”的条件更强，因为“不可分辨”要求几乎所有的轨迹相同，在时间尺度上是一种整体性质；而“修正”仅要求轨迹在某一时刻相同，在时间尺度上是点的性质。为了更进一步说明，我们可以考虑如下例子：考虑具有连续密度函数的正值随机变量 $T$，考虑如下随机过程：$$ X_t \equiv 0, \quad Y_t = \displayst

数学·科研 · 2024-02-08 · 1888 人浏览

Python generator 实现 Gillespie 算法

1. Gillespie 算法与连续时间 Markov 过程Gillespie 算法是一种可以用于采样连续时间 Markov 过程（CTMC）的随机轨迹的算法。这一算法被广泛用于模拟化学反应网络、生物物理过程等随机过程。在介观热力学中，Gillespie 算法被广泛应用于模拟主方程描述的系统，即连续时间 Markov 系统。对于连续时间、离散状态的马尔可夫过程，其概率演化可以由如下主方程表达$$ \frac{\mathrm d p(x, t)}{\mathrm dt} = R p(x, t). $$其中矩阵 $R$ 的矩阵元满足$$ \begin{cases} R_{ij} \ge 0, \quad i \neq j; \\ \\ R_{ii} = \displaystyle{-\sum_{j\neq i}}R_{ij}. \end{cases} $$列和为零的性质保证的概率的守恒（即归一性）。上式表明我们可以将连续时间 Markov 过程视为概率密度在各个状态上的流动过程。实际上，我们也可以考虑大量按初始概率分布的无相互作用粒子

物理·化学·科研·代码 · 2023-10-03 · 4138 人浏览

随机分析、Langevin 方程与 Fokker-Planck 方程

1. Wiener 过程首先考虑一个离散的一维随机漫步 (random walk)，记过程的起始点为 $x=0$，每一步行走距离为 $\Delta x$，向左向右走的概率均为 $1/2$，粒子每过 $\Delta t$ 的时间就移动一次。用 $X(t)$ 记录粒子在 $t$ 时刻的位置，则有$$ X(t) = \sum_{i=1}^{t/\Delta t} \eta_i, $$其中$$ \eta_i = \begin{cases} +\Delta x, \text{ with prob. 1/2 }; \\ -\Delta x, \text{ with prob. 1/2 }. \end{cases} $$由中心极限定理可知，当 $t$ 很大、或者说 $\Delta t$ 很小的时候，$X(t)$ 的分布趋近于高斯分布。此时，我们只需要知道 $X(t)$ 的均值和方差即可确定 $X(t)$ 的概率分布。均值很容易计算，即$$ \langle X(t) \rangle = \frac{t}{\Delta t}\langle\eta_i\rangle = 0; $$其方差为$$ \sigm

物理·数学·科研 · 2023-08-21 · 4014 人浏览

SimpleTeX：方便免费的公式识别软件

最近发现一款国产数学公式 LaTeX 代码识别软件。软件由一些在校大学生开发和维护，支持 Windows 系统电脑以及浏览器在线使用。SimpleTeX 识别算法基于深度学习，有非常高的准确率，且软件完全免费，十分好用！

科研·代码 · 2023-07-16 · 4838 人浏览

过阻尼 Langevin 系统随机热力学的一些几何表述

1. 随机热力学的基本设定近年来，Sosuke Ito 等人逐步建立了热力学的几何表述。尽管理论还在发展初期，但已经显现出其新颖和强大之处。考虑过阻尼 Langevin 方程$$ \dot{\boldsymbol x}(t) = \mu \boldsymbol F_t(\boldsymbol x(t)) + \sqrt{2\mu T} \boldsymbol\xi(t), $$及其对应的 Fokker-Planck 方程$$ \frac{\partial}{\partial t} p_t(\boldsymbol x) = -\nabla\cdot (\boldsymbol v_t(\boldsymbol x) p_t(\boldsymbol x)), $$其中$~\boldsymbol v~$为局域平均速度(local mean velocity)$$ \boldsymbol v_t(\boldsymbol x) = \mu(\boldsymbol F_t(\boldsymbol x) - T\nabla\ln p_t(\boldsymbol x)). $$从$

物理·数学·科研 · 2023-07-13 · 2700 人浏览

关于信息几何的简短介绍

本文主要参考文献为 Shun-ichi Amari 所著的 Information geometry and its applications.信息几何旨在用几何语言描述概率分布。其在最优传输理论，机器学习等领域有广泛用途。近年来，一些物理学家将信息几何运用于非平衡态热力学中，得到了一系列有趣的结论。本文给出信息几何的简单介绍。本文使用爱因斯坦求和约定，即对式子中相同的上下指标求和。信息几何可以从多个角度引入，本文介绍一种从散度入手的引入方式，这一方式更加直观，不需要太多的微分几何。从度规张量引入的信息几何请参考这里。1. 散度、对偶仿射坐标与测地线信息几何主要讨论由参数控制的概率分布构成的流形$~M~$，称其为概率流形或统计流形。考虑由$~n~$个参数$~\boldsymbol{\xi} = (\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n)~$控制的概率密度函数$~p(x, \boldsymbol{\xi})~$，这$~n~$个参数张成一个$~n~$维统计流形，流形上的每一个点都唯一确定一个概率分布。容易看出，欧氏距离并不能衡量这个流形上两点之间的距离，因此我们需要新的几何

数学·科研 · 2023-07-13 · 3059 人浏览

热力学不确定关系的推导与含义

1. 简介众所周知所有宏观系统都受到热力学第二定律的约束$$ \Delta S + \frac{\Delta Q}{T} = \Sigma \ge 0. $$但系统的可观测性质是如何与 $\Sigma$ 联系的呢？答案由热力学不确定关系（Thermodynamic Uncertainty Relation, TUR）给出。TUR 的一般形式如下$$ \Sigma \ge \frac{2\langle J \rangle^2}{\mathrm{Var}(J)}. $$其中 $J$ 是时间积分的流（例如粒子的位移，热流等等），$\langle J\rangle$ 是流的平均值，$\mathrm{Var}(J)$ 是流的涨落（方差）。TUR 对于连续时间马尔可夫过程的定态（steady state）成立。TUR 给出了一个对熵产生下界的估计。当此估计不为零时，它给出了更加强化的第二定律（相较于 $\Sigma \ge 0$ ）。在许多情况下，直接测量熵产生是非常困难的，而流的均值与方差是较易测量的，因此在实验上 TUR 是估计熵产生的一个较好的方法。同时，TUR 也给出了衡量系统的精确程度（

物理·科研 · 2023-04-26 · 7612 人浏览

关于随机热力学的简短介绍

1. 由 Langevin 动力学给出的随机热力学1.1 随机 Langevin 动力学考虑过阻尼 Langevin 动力学，运动方程为$$ \dot{x} = \mu F(x, \lambda) + \zeta $$噪声$~\zeta~$满足$$ \langle \zeta(\tau) \rangle = 0, \quad \langle \zeta(\tau)\zeta(\tau') \rangle = 2D\delta(\tau - \tau') $$其中$~D~$与迁移率$~\mu~$满足爱因斯坦关系$~D = T\mu~$，$~T~$为介质的温度（方便起见这里将$~k_B~$记为$~1~$）。力$~F(x, \lambda)~$可分解为保守部分和非保守部分$$ F(d, \lambda) = -\partial_x V(x, \lambda) + f(x, \lambda). $$其中$~V(x, \lambda)~$是保守势场，$~f(x, \lambda)~$是直接作用于粒子的外力。$~\lambda~$是含时的外部参数，可以简记为$~\lambda(0) = \lamb

物理·科研 · 2023-04-11 · 2864 人浏览