随机过程的修正与不可分辨性

数学·科研 · 02-08 · 1039 人浏览

考虑定义在同一个概率空间 $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ 上的两个随机过程 $X$ 和 $Y$。若对于任意时间 $t\ge 0$ 和样本 $\omega \in \Omega$ ,都有 $X_t(\omega) = Y_t(\omega)$,那么我们称随机过程 $X$ 和 $Y$ 相等。

在概率测度 $P$ 的意义下,我们还可以定义一些更弱的“相等”:

  • 若对任意 $t \ge 0$,有 $P[X_t = Y_t] = 1$,则称随机过程 $Y$ 是 $X$ 的修正;
  • 过程 $X$ 和 $Y$ 不可分辨,若它们几乎所有的轨迹相同:

    $$ P[X_t = Y_t; \forall 0\le t < \infty] = 1. $$

“不可分辨”的条件比“修正”的条件更强,因为“不可分辨”要求几乎所有的轨迹相同,在时间尺度上是一种整体性质;而“修正”仅要求轨迹在某一时刻相同,在时间尺度上是点的性质。

为了更进一步说明,我们可以考虑如下例子:考虑具有连续密度函数的正值随机变量 $T$,考虑如下随机过程:

$$ X_t \equiv 0, \quad Y_t = \displaystyle{\begin{cases}0, t \neq T; \\ 1, t = T.\end{cases}} $$

此时,$Y$ 是 $X$ 的修正,因为对于任意 $t \ge 0$,$P[Y_t = X_t] = P[t \neq T] = 1$。然而,$Y$ 与 $X$ 并非不可分辨,因为它们任意随机轨迹的实现都不一样: $P[Y_t = X_t; \forall t \ge 0] = 0$.

如果我们进一步要求随机轨迹几乎处处右连续,那么“修正”可以推出“不可分辨”。

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