Jiming Zheng 发布的文章 - Jiming's blog

Jiming Zheng 02-28

科研灵感大爆发了！最近又写了篇很漂亮的新工作，马上就能挂 arXiv 了！

随机过程的修正与不可分辨性

考虑定义在同一个概率空间 $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ 上的两个随机过程 $X$ 和 $Y$。若对于任意时间 $t\ge 0$ 和样本 $\omega \in \Omega$ ，都有 $X_t(\omega) = Y_t(\omega)$，那么我们称随机过程 $X$ 和 $Y$ 相等。在概率测度 $P$ 的意义下，我们还可以定义一些更弱的“相等”：若对任意 $t \ge 0$，有 $P[X_t = Y_t] = 1$，则称随机过程 $Y$ 是 $X$ 的修正；过程 $X$ 和 $Y$ 不可分辨，若它们几乎所有的轨迹相同：$$ P[X_t = Y_t; \forall 0\le t < \infty] = 1. $$“不可分辨”的条件比“修正”的条件更强，因为“不可分辨”要求几乎所有的轨迹相同，在时间尺度上是一种整体性质；而“修正”仅要求轨迹在某一时刻相同，在时间尺度上是点的性质。为了更进一步说明，我们可以考虑如下例子：考虑具有连续密度函数的正值随机变量 $T$，考虑如下随机过程：$$ X_t \equiv 0, \quad Y_t = \displayst

数学·科研 · 02-08 · 613 人浏览

Jiming Zheng 01-27

在大家的共同努力下，第一篇文章总算写完了，今天提交了 arXiv。现在要加紧写第二篇了。

Jiming Zheng 01-22

两个小时入门了 Python manim 库，做了个小动画，还是蛮好玩的。

Jiming Zheng 2023-12-21

在第 125 届统计力学会议上给了我的第一次 talk，也认识了许多热力学和神经科学领域的大佬。接下来要抓紧时间写文章了。

Jiming Zheng 2023-10-22

在看一些和 optimal transport 有关的东西，想做一点热力学的 Wasserstein 几何。

Jiming Zheng 2023-10-21

折腾了很久，给网站迁移了服务器，并加上了 SSL 证书。

Python generator 实现 Gillespie 算法

Gillespie 算法与连续时间 Markov 过程Gillespie 算法是一种可以用于采样连续时间 Markov 过程（CTMC）的随机轨迹的算法。这一算法被广泛用于模拟化学反应网络、生物物理过程等随机过程。在介观热力学中，Gillespie 算法被广泛应用于模拟主方程描述的系统，即连续时间 Markov 系统。对于连续时间、离散状态的马尔可夫过程，其概率演化可以由如下主方程表达$$ \frac{\mathrm d p(x, t)}{\mathrm dt} = R p(x, t). $$其中矩阵 $R$ 的矩阵元满足$$ \begin{cases} R_{ij} \ge 0, \quad i \neq j; \\ \\ R_{ii} = \displaystyle{\sum_{j\neq i}}R_{ij}. \end{cases} $$列和为零的性质保证的概率的守恒（即归一性）。上式表明我们可以将连续时间 Markov 过程视为概率密度在各个状态上的流动过程。实际上，我们也可以考虑大量按初始概率分布的无相互作用粒子，粒子在

物理·化学·科研·代码 · 2023-10-03 · 1011 人浏览

随机分析、Langevin 方程与 Fokker-Planck 方程

1. Wiener 过程首先考虑一个离散的一维随机漫步 (random walk)，记过程的起始点为 $x=0$，每一步行走距离为 $\Delta x$，向左向右走的概率均为 $1/2$，粒子每过 $\Delta t$ 的时间就移动一次。用 $X(t)$ 记录粒子在 $t$ 时刻的位置，则有$$ X(t) = \sum_{i=1}^{t/\Delta t} \eta_i, $$其中$$ \eta_i = \begin{cases} +\Delta x, \text{ with prob. 1/2 }; \\ -\Delta x, \text{ with prob. 1/2 }. \end{cases} $$由中心极限定理可知，当 $t$ 很大、或者说 $\Delta t$ 很小的时候，$X(t)$ 的分布趋近于高斯分布。此时，我们只需要知道 $X(t)$ 的均值和方差即可确定 $X(t)$ 的概率分布。均值很容易计算，即$$ \langle X(t) \rangle = \frac{t}{\Delta t}\langle\eta_i\rangle = 0; $$其方差为$$ \sigm

物理·数学·科研 · 2023-08-21 · 1195 人浏览

Jiming Zheng 2023-08-06

在教堂山安顿好了，马上开始 PhD 生活。

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