过阻尼 Langevin 方程的路径积分形式

一些前置概念请见随机分析、Langevin 方程与 Fokker-Planck 方程。1. 两个路径积分的例子1.1. Ito 积分形式的路径积分例子考虑过阻尼 Langevin 方程$$ \dot{x}(t) = f(x(t)) + g(x(t))\xi(t), $$其中 $\xi(t)$ 为白噪声，满足 $\langle \xi(t) \rangle = 0$，$\langle \xi(t)\xi(t') \rangle = 2D\delta(t-t')$.考虑将时间做离散化处理，将时间区间 $[0, \tau]$ 等分为 $K$ 份，即 $\tau = K\Delta t$，简记 $t^k \equiv k\Delta t$，$x^k \equiv x(t^k)$. 将离散化后的 Langevin 方程记为$$ x^{k+1} - x^{k} \overset{(\alpha)}{=} f(\bar{x}^k)\Delta t + g(\bar{x}^k)\Delta \omega^k, $$其中 $\alpha$ 涉及到随机积分的表达形式（稍后会提到）， $\Delta \om

物理·数学·科研 · 02-19 · 127 人浏览

随机过程的修正与不可分辨性

考虑定义在同一个概率空间 $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ 上的两个随机过程 $X$ 和 $Y$。若对于任意时间 $t\ge 0$ 和样本 $\omega \in \Omega$ ，都有 $X_t(\omega) = Y_t(\omega)$，那么我们称随机过程 $X$ 和 $Y$ 相等。在概率测度 $P$ 的意义下，我们还可以定义一些更弱的“相等”：若对任意 $t \ge 0$，有 $P[X_t = Y_t] = 1$，则称随机过程 $Y$ 是 $X$ 的修正；过程 $X$ 和 $Y$ 不可分辨，若它们几乎所有的轨迹相同：$$ P[X_t = Y_t; \forall 0\le t < \infty] = 1. $$“不可分辨”的条件比“修正”的条件更强，因为“不可分辨”要求几乎所有的轨迹相同，在时间尺度上是一种整体性质；而“修正”仅要求轨迹在某一时刻相同，在时间尺度上是点的性质。为了更进一步说明，我们可以考虑如下例子：考虑具有连续密度函数的正值随机变量 $T$，考虑如下随机过程：$$ X_t \equiv 0, \quad Y_t = \displayst

数学·科研 · 2024-02-08 · 1645 人浏览

Python generator 实现 Gillespie 算法

1. Gillespie 算法与连续时间 Markov 过程Gillespie 算法是一种可以用于采样连续时间 Markov 过程（CTMC）的随机轨迹的算法。这一算法被广泛用于模拟化学反应网络、生物物理过程等随机过程。在介观热力学中，Gillespie 算法被广泛应用于模拟主方程描述的系统，即连续时间 Markov 系统。对于连续时间、离散状态的马尔可夫过程，其概率演化可以由如下主方程表达$$ \frac{\mathrm d p(x, t)}{\mathrm dt} = R p(x, t). $$其中矩阵 $R$ 的矩阵元满足$$ \begin{cases} R_{ij} \ge 0, \quad i \neq j; \\ \\ R_{ii} = \displaystyle{-\sum_{j\neq i}}R_{ij}. \end{cases} $$列和为零的性质保证的概率的守恒（即归一性）。上式表明我们可以将连续时间 Markov 过程视为概率密度在各个状态上的流动过程。实际上，我们也可以考虑大量按初始概率分布的无相互作用粒子

物理·化学·科研·代码 · 2023-10-03 · 2985 人浏览

随机分析、Langevin 方程与 Fokker-Planck 方程

1. Wiener 过程首先考虑一个离散的一维随机漫步 (random walk)，记过程的起始点为 $x=0$，每一步行走距离为 $\Delta x$，向左向右走的概率均为 $1/2$，粒子每过 $\Delta t$ 的时间就移动一次。用 $X(t)$ 记录粒子在 $t$ 时刻的位置，则有$$ X(t) = \sum_{i=1}^{t/\Delta t} \eta_i, $$其中$$ \eta_i = \begin{cases} +\Delta x, \text{ with prob. 1/2 }; \\ -\Delta x, \text{ with prob. 1/2 }. \end{cases} $$由中心极限定理可知，当 $t$ 很大、或者说 $\Delta t$ 很小的时候，$X(t)$ 的分布趋近于高斯分布。此时，我们只需要知道 $X(t)$ 的均值和方差即可确定 $X(t)$ 的概率分布。均值很容易计算，即$$ \langle X(t) \rangle = \frac{t}{\Delta t}\langle\eta_i\rangle = 0; $$其方差为$$ \sigm

物理·数学·科研 · 2023-08-21 · 3398 人浏览

关于随机热力学的简短介绍

1. 由 Langevin 动力学给出的随机热力学1.1 随机 Langevin 动力学考虑过阻尼 Langevin 动力学，运动方程为$$ \dot{x} = \mu F(x, \lambda) + \zeta $$噪声$~\zeta~$满足$$ \langle \zeta(\tau) \rangle = 0, \quad \langle \zeta(\tau)\zeta(\tau') \rangle = 2D\delta(\tau - \tau') $$其中$~D~$与迁移率$~\mu~$满足爱因斯坦关系$~D = T\mu~$，$~T~$为介质的温度（方便起见这里将$~k_B~$记为$~1~$）。力$~F(x, \lambda)~$可分解为保守部分和非保守部分$$ F(d, \lambda) = -\partial_x V(x, \lambda) + f(x, \lambda). $$其中$~V(x, \lambda)~$是保守势场，$~f(x, \lambda)~$是直接作用于粒子的外力。$~\lambda~$是含时的外部参数，可以简记为$~\lambda(0) = \lamb

物理·科研 · 2023-04-11 · 2383 人浏览

马尔可夫过程

1. 马氏过程1.1. 马氏链考虑离散时间的随机过程$~X_n(n = 1, 2, \cdots)~$，$~X_n~$在有限集合内取值。我们称$~X_n~$的所有可能取值为系统的状态。定义转移概率为$$ p_{n+1}(i, j) = \mathbb P(X_{n+1} = j\mid X_n = i, X_{n-1} = i_{n-1}, \cdots, X_0 = i_0) $$转移概率是一个条件概率。这是一个离散时间，离散状态的随机过程。若$~p_{n+1}(i, j) = \mathbb P(X_{n+1} = j\mid X_n = i)~$，则称​这个过程具有马氏性（马尔可夫性）。马尔可夫性即是说，转移概率只与当前的状态有关，与先前任何时间的状态都无关。若时刻$~n~$​的取值与转移概率无关，即对任意$~n~$​都有$$ \mathbb P(X_{n+1} = j\mid X_n = i) = p(i, j) $$则称转移概率具有时齐性，相应的马氏链称作时齐马氏链。转移概率$~p(i, j)~$的相应数值，可以标注在矩阵$~\mathbf P~$的第$~i~$行，第$~j~

数学·科研 · 2023-04-10 · 2697 人浏览
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