随机过程的修正与不可分辨性

考虑定义在同一个概率空间 $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ 上的两个随机过程 $X$ 和 $Y$。若对于任意时间 $t\ge 0$ 和样本 $\omega \in \Omega$ ，都有 $X_t(\omega) = Y_t(\omega)$，那么我们称随机过程 $X$ 和 $Y$ 相等。在概率测度 $P$ 的意义下，我们还可以定义一些更弱的“相等”：若对任意 $t \ge 0$，有 $P[X_t = Y_t] = 1$，则称随机过程 $Y$ 是 $X$ 的修正；过程 $X$ 和 $Y$ 不可分辨，若它们几乎所有的轨迹相同：$$ P[X_t = Y_t; \forall 0\le t < \infty] = 1. $$“不可分辨”的条件比“修正”的条件更强，因为“不可分辨”要求几乎所有的轨迹相同，在时间尺度上是一种整体性质；而“修正”仅要求轨迹在某一时刻相同，在时间尺度上是点的性质。为了更进一步说明，我们可以考虑如下例子：考虑具有连续密度函数的正值随机变量 $T$，考虑如下随机过程：$$ X_t \equiv 0, \quad Y_t = \displayst

数学·科研 · 02-08 · 1366 人浏览

随机分析、Langevin 方程与 Fokker-Planck 方程

1. Wiener 过程首先考虑一个离散的一维随机漫步 (random walk)，记过程的起始点为 $x=0$，每一步行走距离为 $\Delta x$，向左向右走的概率均为 $1/2$，粒子每过 $\Delta t$ 的时间就移动一次。用 $X(t)$ 记录粒子在 $t$ 时刻的位置，则有$$ X(t) = \sum_{i=1}^{t/\Delta t} \eta_i, $$其中$$ \eta_i = \begin{cases} +\Delta x, \text{ with prob. 1/2 }; \\ -\Delta x, \text{ with prob. 1/2 }. \end{cases} $$由中心极限定理可知，当 $t$ 很大、或者说 $\Delta t$ 很小的时候，$X(t)$ 的分布趋近于高斯分布。此时，我们只需要知道 $X(t)$ 的均值和方差即可确定 $X(t)$ 的概率分布。均值很容易计算，即$$ \langle X(t) \rangle = \frac{t}{\Delta t}\langle\eta_i\rangle = 0; $$其方差为$$ \sigm

物理·数学·科研 · 2023-08-21 · 2606 人浏览

Langevin 方程与 Fokker-Planck 方程

本文主要参考文献为 Robert Zwanzig 所著的 Nonequilibrium Statistical Mechanics.1. 布朗运动与 Langevin 方程1.1 Langevin 方程与涨落耗散定理考虑一个球形粒子（半径为$~a~$，质量为$~m~$，坐标为$~x~$，速度为$~v~$）在液体介质中的一维运动，粒子运动的牛顿方程为$$ m\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t} = F_{\text{total}}(t) $$其中$~F_{\text{total}}(t)~$是$~t~$​​时刻作用在粒子上的总的瞬时作用力。粒子与介质的作用是这个力的来源。在牛顿力学中，原则上这不是一个随机力。但想要分析其具体形式是很难做到的。实验告诉我们，在经典情形中，这个力主要是摩擦力，它的形式为$~-\zeta v~$，即与布朗粒子的速度成正比。由流体力学中的 Stokes ​​定律可知$~\zeta = 6\pi\eta a~$​. 故式子变为$$ m\frac{\mathrm d v}{\mathrm d t} \cong -\zeta v $$其解为$

物理·科研 · 2023-04-11 · 3137 人浏览
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