平衡态统计物理基础

1. 系综理论的基本原理1.1. 相空间由经典力学我们知道，若系统的粒子数为$~N~$，在任意时刻$~t~$时要确定系统的微观状态，就需要$~3N~$个位置坐标$~q_1, q_2, \cdots, q_{3N}~$和$~3N~$个动量坐标$~p_1, p_2, \cdots, p_{3N}~$. 这些坐标描述了$~6N~$维相空间中的一个相点。系统的时间演化由哈密顿方程描述$$ \begin{aligned} \dot q_i &= \frac{\partial H(q_i, p_i)}{\partial p_i} \\ \dot p_i &= -\frac{\partial H(q_i, p_i)}{\partial q_i} \end{aligned} $$随着时间推移，相点在相空间中连续变化，划出一条轨迹。有限的体积限制了坐标$~q_i~$的数值，有限的能量限制了$~p_i,~q_i~$的数值，因而相轨迹保持在相空间的有限区域内。若已知总能量为$~E~$，那么相轨迹会被限制在超曲面$~H(q_i, p_i) = E~$内；若能量可以在$~(E - \Delta/

物理·科研 · 2023-04-10 · 2578 人浏览

马尔可夫过程

1. 马氏过程1.1. 马氏链考虑离散时间的随机过程$~X_n(n = 1, 2, \cdots)~$，$~X_n~$在有限集合内取值。我们称$~X_n~$的所有可能取值为系统的状态。定义转移概率为$$ p_{n+1}(i, j) = \mathbb P(X_{n+1} = j\mid X_n = i, X_{n-1} = i_{n-1}, \cdots, X_0 = i_0) $$转移概率是一个条件概率。这是一个离散时间，离散状态的随机过程。若$~p_{n+1}(i, j) = \mathbb P(X_{n+1} = j\mid X_n = i)~$，则称​这个过程具有马氏性（马尔可夫性）。马尔可夫性即是说，转移概率只与当前的状态有关，与先前任何时间的状态都无关。若时刻$~n~$​的取值与转移概率无关，即对任意$~n~$​都有$$ \mathbb P(X_{n+1} = j\mid X_n = i) = p(i, j) $$则称转移概率具有时齐性，相应的马氏链称作时齐马氏链。转移概率$~p(i, j)~$的相应数值，可以标注在矩阵$~\mathbf P~$的第$~i~$行，第$~j~

数学·科研 · 2023-04-10 · 2051 人浏览

在 LaTeX 中插入代码块

本文介绍一种用 Python 辅助$~\TeX~$插入代码块的方式。默认本文的读者已经安装好了 TeXLive 和 Python。安装相关 Python 模块通过pip安装pygmentize模块。在命令行输入以下命令pip install pygmentize相关$~\TeX~$源码\usepackage{minted} % 用于导入相关宏包 ... \begin{document} ... \mint{python}|test.py| % 这里以Python语言为例。双竖线中是文件名 \begin{minted}[mathescape, % 中括号中的内容用于控制代码显示的格式，可以依照喜好修改 linenos, numbersep=5pt, gobble=2, frame=lines, framesep=2mm]{python} ...

科研·代码 · 2023-04-07 · 2648 人浏览

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Typecho·杂谈 · 2023-04-06 · 4731 人浏览
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