Jiming Zheng 发布的文章 - Jiming's blog

Jiming Zheng 2023-04-12

几经折腾建好了新的个人主页，搬运了一些原来主页的内容过来，以后博客就在这里更新了。
给原来的网页做了自动跳转。

关于随机热力学的简短介绍

1. 由 Langevin 动力学给出的随机热力学1.1 随机 Langevin 动力学考虑过阻尼 Langevin 动力学，运动方程为$$ \dot{x} = \mu F(x, \lambda) + \zeta $$噪声$~\zeta~$满足$$ \langle \zeta(\tau) \rangle = 0, \quad \langle \zeta(\tau)\zeta(\tau') \rangle = 2D\delta(\tau - \tau') $$其中$~D~$与迁移率$~\mu~$满足爱因斯坦关系$~D = T\mu~$，$~T~$为介质的温度（方便起见这里将$~k_B~$记为$~1~$）。力$~F(x, \lambda)~$可分解为保守部分和非保守部分$$ F(d, \lambda) = -\partial_x V(x, \lambda) + f(x, \lambda). $$其中$~V(x, \lambda)~$是保守势场，$~f(x, \lambda)~$是直接作用于粒子的外力。$~\lambda~$是含时的外部参数，可以简记为$~\lambda(0) = \lamb

物理·科研 · 2023-04-11 · 2867 人浏览

Noether 定理

1. 守恒量若一个力学量$~\Gamma = \Gamma(q, \dot q, t)~$不随时间变化，即$~\Gamma~$对时间的全导数为零$$ \frac{\mathrm d \Gamma}{\mathrm d t} = 0 $$那么称$~\Gamma~$为运动常数，其值由初始值决定，即$~\Gamma(q, \dot q, t) = \Gamma(q^{(0)}, \dot q^{(0)}, 0)~$.对于一个自由度为$~s~$的体系，最多有$~2s~$个守恒量，这其中最多有$~2s-1~$个不显含时间$~t~$的守恒量。2. 对称性对于一个变换，我们可以有两种看法，即被动的观点和主动的观点。对某个坐标系下的一些点做变换，我们既可以认为是点的位置变了而坐标系没变，也可以认为是点的位置不变而换用了新的坐标系。对称性，描述了变换下的不变性。若某种事物或性质在变换前后是不变的，那么它就具有某种对称性。比如球体绕任意过直径的直线旋转都不会发生变化，那么它就有旋转对称性；再比如物理实验不论在何时进行，只要条件相同，都能得到同样的结果，这说明物理规律有时间平移对称性。对于一个标量场$~\v

物理·科研 · 2023-04-10 · 4110 人浏览

平衡态统计物理基础

1. 系综理论的基本原理1.1. 相空间由经典力学我们知道，若系统的粒子数为$~N~$，在任意时刻$~t~$时要确定系统的微观状态，就需要$~3N~$个位置坐标$~q_1, q_2, \cdots, q_{3N}~$和$~3N~$个动量坐标$~p_1, p_2, \cdots, p_{3N}~$. 这些坐标描述了$~6N~$维相空间中的一个相点。系统的时间演化由哈密顿方程描述$$ \begin{aligned} \dot q_i &= \frac{\partial H(q_i, p_i)}{\partial p_i} \\ \dot p_i &= -\frac{\partial H(q_i, p_i)}{\partial q_i} \end{aligned} $$随着时间推移，相点在相空间中连续变化，划出一条轨迹。有限的体积限制了坐标$~q_i~$的数值，有限的能量限制了$~p_i,~q_i~$的数值，因而相轨迹保持在相空间的有限区域内。若已知总能量为$~E~$，那么相轨迹会被限制在超曲面$~H(q_i, p_i) = E~$内；若能量可以在$~(E - \Delta/

物理·科研 · 2023-04-10 · 3716 人浏览

马尔可夫过程

1. 马氏过程1.1. 马氏链考虑离散时间的随机过程$~X_n(n = 1, 2, \cdots)~$，$~X_n~$在有限集合内取值。我们称$~X_n~$的所有可能取值为系统的状态。定义转移概率为$$ p_{n+1}(i, j) = \mathbb P(X_{n+1} = j\mid X_n = i, X_{n-1} = i_{n-1}, \cdots, X_0 = i_0) $$转移概率是一个条件概率。这是一个离散时间，离散状态的随机过程。若$~p_{n+1}(i, j) = \mathbb P(X_{n+1} = j\mid X_n = i)~$，则称这个过程具有马氏性（马尔可夫性）。马尔可夫性即是说，转移概率只与当前的状态有关，与先前任何时间的状态都无关。若时刻$~n~$的取值与转移概率无关，即对任意$~n~$都有$$ \mathbb P(X_{n+1} = j\mid X_n = i) = p(i, j) $$则称转移概率具有时齐性，相应的马氏链称作时齐马氏链。转移概率$~p(i, j)~$的相应数值，可以标注在矩阵$~\mathbf P~$的第$~i~$行，第$~j~

数学·科研 · 2023-04-10 · 3288 人浏览

在 LaTeX 中插入代码块

本文介绍一种用 Python 辅助$~\TeX~$插入代码块的方式。默认本文的读者已经安装好了 TeXLive 和 Python。安装相关 Python 模块通过pip安装pygmentize模块。在命令行输入以下命令pip install pygmentize相关$~\TeX~$源码\usepackage{minted} % 用于导入相关宏包 ... \begin{document} ... \mint{python}|test.py| % 这里以Python语言为例。双竖线中是文件名 \begin{minted}[mathescape, % 中括号中的内容用于控制代码显示的格式，可以依照喜好修改 linenos, numbersep=5pt, gobble=2, frame=lines, framesep=2mm]{python} ...

科研·代码 · 2023-04-07 · 4750 人浏览

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Typecho·杂谈 · 2023-04-06 · 8241 人浏览

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