一些前置概念请见随机分析、Langevin 方程与 Fokker-Planck 方程。
1. 两个路径积分的例子
1.1. Ito 积分形式的路径积分例子
考虑过阻尼 Langevin 方程
$$ \dot{x}(t) = f(x(t)) + g(x(t))\xi(t), $$
其中 $\xi(t)$ 为白噪声，满足 $\langle \xi(t) \rangle = 0$，$\langle \xi(t)\xi(t') \rangle = 2D\delta(t-t')$.
考虑将时间做离散化处理，将时间区间 $[0, \tau]$ 等分为 $K$ 份，即 $\tau = K\Delta t$，简记 $t^k \equiv k\Delta t$，$x^k \equiv x(t^k)$. 将离散化后的 Langevin 方程记为
$$ x^{k+1} - x^{k} \overset{(\alpha)}{=} f(\bar{x}^k)\Delta t + g(\bar{x}^k)\Delta \omega^k, $$
其中 $\alpha$ 涉及到随机积分的表达形式（稍后会提到）， $\Delta \omega^k \equiv \omega^{k+1} - \omega^k = \omega(t^{k+1}) - \omega(t^k)$， $\omega(t)$ 为强度为 $2D$ 的维纳过程。维纳过程由高斯独立增量给出，因此 $\Delta\omega^k$ 满足如下性质
$$ \langle \Delta\omega^k \rangle = 0, \quad \langle \Delta\omega^k \Delta\omega^{k'} \rangle = 2D \Delta t \delta_{kk'}. $$
如何处理函数 $f$ 和 $g$ 的离散化形式涉及到选择随机积分表达形式的问题。定义 $\bar{x}^k = \alpha x^{k+1} + (1-\alpha) x^k$，则常用的 Ito 和 Stratonovich 两种取法分别对应 $\alpha = 0$ 和 $\alpha = 1/2$.
简单起见，我们首先讨论 Ito 形式的随机积分，即 $\alpha = 0$ 的情况。此时离散化的 Langevin 方程为
$$ x^{k+1} - x^{k} \overset{(\alpha = 0)}{=} f(x^k, t^k)\Delta t + g(x^k, t^k)\Delta \omega^k. $$
对于给定的初始位置 $x^0$ ，当我们指定了维纳过程的具体实现时，即 $\omega(t)$ 在每个离散时刻都被确定下来 $W_\tau \equiv \{ \Delta\omega^0, \Delta\omega^1, \cdots, \Delta\omega^{K-1} \}$，随机轨迹也成为一个确定性的轨迹 $X_\tau \equiv \{x^1, x^2, \cdots, x^K \}$. 生成这样的维纳过程的概率为
$$ \begin{aligned} \mathcal{P}[W_\tau] &= \prod_{k=0}^{K-1} P(\Delta \omega^k) \\ &= \prod_{k=0}^{K-1} \frac{1}{\sqrt{4\pi D \Delta t}} \exp\left[ -\frac{(\Delta\omega^k)^2}{4D\Delta t} \right]， \end{aligned} $$
这是因为 $\{ \Delta\omega^0, \Delta\omega^1, \cdots, \Delta\omega^{K-1} \}$ 是独立同分布的高斯增量。由离散化的 Langevin 方程可得
$$ \Delta\omega^k \overset{(\alpha = 0)}{=} \frac{1}{g(x^k, t^k)} \left( x^{k+1} - x^{k} - f(x^k, t^k)\Delta t \right), $$
带入 $\mathcal{P}[W_\tau]$ 可得
$$ \mathcal{P}[W_\tau] = \prod_{k=0}^{K-1} \frac{1}{\sqrt{4\pi D \Delta t}} \exp\left[ -\frac{\Delta t}{4D g^2(x^k, t^k)} \left( \frac{x^{k+1} - x^{k}}{\Delta t} - f(x^k, t^k) \right)^2 \right]. $$
现在距离路径积分的表达式只剩最后一步，即 $\mathcal{P}[W_\tau]$ 到 $\mathcal{P}[X_\tau | x^0]$ 的变换，它们之间相差了一个 Jacobi 行列式。由离散化的 Langevin 方程可得 Jacobi 行列式为
$$ |J| \equiv \left| \frac{\partial(x^1, x^2, \cdots, x^K)}{\partial(\Delta\omega^0, \Delta\omega^1, \cdots, \Delta\omega^{K-1})} \right| = \prod_{k=0}^{K-1} \left| g(x^k, t^k) \right| = \prod_{k=0}^{K-1} \sqrt{g^2(x^k, t^k)}. $$
由此可得 Langevin 方程生成的轨迹概率为
$$ \begin{aligned} \mathcal{P}[X_\tau] ={}& p(x^0) \cdot \mathcal{P}[W_\tau] \cdot \left| J^{-1} \right| \\ ={}& p(x^0) \cdot \prod_{k=0}^{K-1} \frac{1}{\sqrt{4\pi D g^2(x^k, t^k) \Delta t}} \\ &\times \exp\left[ -\frac{\Delta t}{4D g^2(x^k, t^k)} \left( \frac{x^{k+1} - x^{k}}{\Delta t} - f(x^k, t^k) \right)^2 \right] \\ ={}& p(x^0) \cdot \left( \prod_{k=0}^{K-1} \frac{1}{\sqrt{4\pi D g^2(x^k, t^k) \Delta t}} \right) \\ &\times \exp\left[ -\frac{1}{4D} \sum_{k=0}^{K-1} \Delta t \left\{ \frac{1}{g^2(x^k, t^k)} \left( \frac{x^{k+1} - x^{k}}{\Delta t} - f(x^k, t^k) \right)^2 \right\} \right] \\ ={}& \underbrace{\mathcal{N}[X_\tau]}_{\text{normalizing factor}} \cdot \exp\{ -\underbrace{\mathcal{S}[X_\tau]}_{\text{path action}} \}, \end{aligned} $$
其中归一化因子为
$$ \mathcal{N}[X_\tau] = p(x^0) \cdot \prod_{k=0}^{K-1} \frac{1}{\sqrt{4\pi D g^2(x^k, t^k) \Delta t}}, $$
轨迹作用量为
$$ \mathcal{S}[X_\tau] = \frac{1}{4D} \sum_{k=0}^{K-1} \Delta t \left\{ \frac{1}{g^2(x^k, t^k)} \left( \frac{x^{k+1} - x^{k}}{\Delta t} - f(x^k, t^k) \right)^2 \right\}, $$
路径积分的轨迹测度为
$$ \int \mathcal{D}[X_\tau] \equiv \lim_{\substack{\Delta t \to 0, ~ K \to \infty \\K\Delta t = \tau \text{ fixed}}} \prod_{k=0}^{K} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x^k. $$
归一化条件为
$$ \int \mathcal{D}[X_\tau] \mathcal{P}[X_\tau] = \int \mathcal{D}[X_\tau] p(x^0) \mathcal{P}[X_\tau|x^0] = 1. $$
在连续时间极限下，即 $\Delta t \to 0, K \to \infty, K\Delta t = \tau$ 时，作用量可以写成时间积分的形式：
$$ \mathcal{S}[X_\tau] = \frac{1}{4D}\int_0^\tau \left[ \frac{\dot{x} - f(x, t)}{g(x, t)} \right]^2 \mathrm{d}t. $$
这看起来像是 $\xi^2(t)$ 的时间积分，因为 Langevin 方程可以重排为 $\xi(t) = \frac{\dot{x} - f(x, t)}{g(x, t)}$，但下一个例子会说明这个想法并不总是正确。
1.2. 关于随机热力学的例子
在随机热力学中，通常考虑过阻尼 Langevin 方程
$$ \dot{x}(t) = \mu F(x(t), \lambda(t)) + \xi(t), $$
其中 $\lambda(t)$ 为外部控制参数， $\xi(t)$ 为白噪声，满足 $\langle \xi(t) \rangle = 0$，$\langle \xi(t)\xi(t') \rangle = 2D\delta(t-t')$.
现在做与上一节相同的离散化处理。唯一的不同点在于，在随机热力学中，人们通常取 Stratonovich 形式的随机积分，因为这样的形式更符合实际物理情形。因此，离散化的 Langevin 方程为
$$ \begin{aligned} x^{k+1} - x^{k} &= \mu F(\bar{x}^k)\Delta t + \Delta \omega^k \\ &\approx \frac{\mu}{2} \left[ F(x^{k+1}, \lambda^{k+1}) + F(x^{k}, \lambda^{k}) \right] \Delta t + \Delta\omega^k. \end{aligned} $$
此时唯一发生变化的是 Jacobi 行列式。Jacobi 矩阵为
$$ \begin{aligned} J^{-1} &= \frac{\partial(\Delta\omega^0, \Delta\omega^1, \cdots, \Delta\omega^{K-1})}{\partial(x^1, x^2, \cdots, x^K)} \\ &= \begin{pmatrix} 1 - \frac{\mu\Delta t}{2}\partial_{x^1} F(x^1, \lambda^1) & 0 & \cdots & 0 \\ -1 - \frac{\mu\Delta t}{2}\partial_{x^1} F(x^1, \lambda^1) & 1 - \frac{\mu\Delta t}{2}\partial_{x^2}F(x^2, \lambda^2) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 - \frac{\mu\Delta t}{2}\partial_{x^K} F(x^K, \lambda^K) \end{pmatrix}. \end{aligned} $$
因此 Jacobi 行列式为
$$ \begin{aligned} \left| J^{-1} \right| &= \prod_{k=0}^{K-1} \left[ 1 - \frac{\mu\Delta t}{2} \frac{\partial F(x^{k+1}, \lambda^{k+1})}{\partial x^{k+1}} \right] \\ &= \exp\left[ \sum_{k=0}^{K-1} \ln\left( 1 - \frac{\mu\Delta t}{2} \frac{\partial F(x^{k+1}, \lambda^{k+1})}{\partial x^{k+1}} \right) \right] \\ &\approx \exp\left[ -\sum_{k=0}^{K-1} \frac{\mu\Delta t}{2} \frac{\partial F(x^{k+1}, \lambda^{k+1})}{\partial x^{k+1}} \right]. \end{aligned} $$
带入可得轨迹概率表达式
$$ \begin{aligned} \mathcal{P}[X_\tau] ={}& p(x^0) \cdot \mathcal{P}[W_\tau] \cdot \left| J^{-1} \right| \\ ={}& \frac{p(x^0)}{(4\pi D \Delta t)^{K/2}} \cdot \exp\left[ -\frac{\Delta t}{4D} \sum_{k=0}^{K-1} \left( \frac{x^{k+1} - x^k}{\Delta t} - \mu F(\bar{x}^k) \right)^2 \right. \\ & \left. - \frac{\mu\Delta t}{2} \sum_{k=0}^{K-1} \frac{\partial F(x^{k+1}, \lambda^{k+1})}{\partial x^{k+1}} \right] \\ ={}& \underbrace{\mathcal{N}[X_\tau]}_{\text{normalizing factor}} \cdot \exp\{ -\underbrace{\mathcal{S}[X_\tau]}_{\text{path action}} \}, \end{aligned} $$
其中归一化因子为
$$ \mathcal{N}[X_\tau] = \frac{p(x^0)}{(4\pi D \Delta t)^{K/2}}, $$
作用量为
$$ \mathcal{S}[X_\tau] = \frac{\Delta t}{4D} \sum_{k=0}^{K-1} \left( \frac{x^{k+1} - x^k}{\Delta t} - \mu F(\bar{x}^k) \right)^2 + \frac{\mu\Delta t}{2} \sum_{k=0}^{K-1} \frac{\partial F(x^{k+1}, \lambda^{k+1})}{\partial x^{k+1}}. $$
在连续时间极限下，即 $\Delta t \to 0, K \to \infty, K\Delta t = \tau$ 时，作用量 $\mathcal{S}$ 同样可以写成时间积分的形式：
$$ \mathcal{S}[X_\tau] = \underbrace{ \frac{1}{4D}\int_0^\tau \left( \dot{x} - \mu F(x, t) \right)^2 \mathrm{d}t }_{\text{Gaussian noise weight}} + \underbrace{ \frac{\mu}{2}\int_0^\tau \frac{\partial F(x, t)}{\partial x} \mathrm{d}t }_{\text{Jacobian weight}}. $$
可以发现轨迹作用量由两部分组成。一部分是高斯白噪声的贡献，另一部分是 Jacobi 行列式的贡献。实际上第一个例子中的 Jacobi 行列式同样对轨迹概率有贡献，只是被整合到了归一化因子中。白噪声的贡献在连续时间极限下总是相同的，与取什么样的随机积分形式无关，而 Jacobi 行列式的贡献与选取的形式有关，不同的积分形式会给出不同的项。
2. 一般形式的路径积分
考虑一般的过阻尼 Langevin 方程（也称为线性 Langevin 方程，因为最高只出现了 $x$ 的一阶时间导数）
$$ \dot{x} = f(x(t)) + g(x(t)) \xi(t), $$
其中 $\xi(t)$ 为高斯白噪声，满足 $\langle \xi(t) \rangle = 0$，$\langle \xi(t)\xi(t') \rangle = 2D\delta(t-t')$. 高斯白噪声的轨迹概率 $\mathcal{P}[W_\tau]$ 总是相同的，因为它是白噪声自身的性质，与 $f(x(t))$ 和 $g(x(t))$ 的形式无关：
$$ \mathcal{P}[W_\tau] = \prod_{k=0}^{K-1} \frac{1}{\sqrt{4\pi D \Delta t}} \exp\left[ -\frac{(\Delta\omega^k)^2}{4D\Delta t} \right]. $$
将 Langevin 方程做离散化处理得到
$$ x^{k+1} - x^k \overset{(\alpha)}{=} f(\bar{x}^k) \Delta t + g(\bar{x}^k) \Delta\omega^k, $$
其中 $\bar{x}^k = \alpha x^{k+1} + (1-\alpha) x^k$. 离散化的方式最终不影响 $\mathcal{P}[W_\tau]$ 的表达式，因为在连续极限下 $f(\bar{x}^k) \to f(x, t)$，$g(\bar{x}^k) \to g(x, t)$ 对任意 $\alpha \in [0, 1]$ 成立。变量代换可得
$$ \mathcal{P}[W_\tau] = \prod_{k=0}^{K-1} \frac{1}{\sqrt{4\pi D \Delta t}} \exp\left\{ -\frac{1}{4D\Delta t} \left[ \frac{x^{k+1} - x^k - f(\bar{x}^k)\Delta t}{g(\bar{x}^k)} \right]^2 \right\}. $$
轨迹不同离散化给出的轨迹概率的区别在于 Jacobi 行列式 $\left| J^{-1} \right|$：
$$ \mathcal{P}[X_\tau] = p(x^0) \cdot \mathcal{P}[W_\tau] \cdot \left| J^{-1} \right|. $$
在一般的 $\alpha$ 离散化下，Jacobi 行列式的计算结果为
$$ \begin{aligned} \left| J^{-1} \right| ={}& \prod_{k=0}^{K-1} \frac{1}{|g(\bar{x}^k)|} \exp\left\{ -2\alpha\Delta\omega^k g'(\bar{x}^k) - \alpha\Delta t f'(\bar{x}^k) - \alpha\Delta t f(\bar{x}^k)\frac{g'(\bar{x}^k)}{g(\bar{x}^k)}\right. \\ &- \left. D\alpha^2\Delta t \left[ 2(g'(\bar{x}^k)^2 - g(\bar{x}^k) g''(\bar{x}^k) \right] \right\}. \end{aligned} $$
当 $\alpha = 0$ 时，Jacobi 行列式的计算结果与第一个例子相吻合。对于可加的噪声，有 $g'(x) = 0$，此时 Jacobi 行列式简化为
$$ \left| J^{-1} \right| = \prod_{k=0}^{K-1} \exp\left[ -\alpha f'(\bar{x}^k)\Delta t \right], $$
这与第二个例子相吻合。
Stratonovich 形式下的轨迹泛函有时也被称为 Onsager-Machlup 泛函，因为 Lars Onsager 和 Stefan Machlup 最早做出了相关的工作。取 $\alpha = 1/2$，此时 Onsager-Machlup 作用量为
$$ \begin{aligned} \mathcal{S}[X_\tau] ={}& \underbrace{ \sum_{k=0}^{K-1} \frac{1}{4D\Delta t} \left[ \frac{x^{k+1} - x^k - f(\bar{x}^k)\Delta t}{g(\bar{x}^k)} \right]^2 }_{\text{Gaussian noise weight}} \\ &+ \underbrace{ \sum_{k=0}^{K-1} \frac{\Delta t}{2}\left[ f'(\bar{x}^k) - \frac{f(\bar{x}^k)g'(\bar{x}^k)}{g(\bar{x}^k)} \right] + \sum_{k=0}^{K-1} \frac{D\Delta t}{4}\left[ 2(g'(\bar{x}^k))^2 - g(\bar{x}^k) g''(\bar{x}^k) \right] }_{\text{Jacobian weight}}. \end{aligned} $$
