Noether 定理

1. 守恒量

若一个力学量$~\Gamma = \Gamma(q, \dot q, t)~$不随时间变化，即$~\Gamma~$对时间的全导数为零

$$ \frac{\mathrm d \Gamma}{\mathrm d t} = 0 $$

那么称$~\Gamma~$为运动常数，其值由初始值决定，即$~\Gamma(q, \dot q, t) = \Gamma(q^{(0)}, \dot q^{(0)}, 0)~$.

对于一个自由度为$~s~$的体系，最多有$~2s~$个守恒量，这其中最多有$~2s-1~$个不显含时间$~t~$的守恒量。

2. 对称性

对于一个变换，我们可以有两种看法，即被动的观点和主动的观点。对某个坐标系下的一些点做变换，我们既可以认为是点的位置变了而坐标系没变，也可以认为是点的位置不变而换用了新的坐标系。

对称性，描述了变换下的不变性。若某种事物或性质在变换前后是不变的，那么它就具有某种对称性。比如球体绕任意过直径的直线旋转都不会发生变化，那么它就有旋转对称性；再比如物理实验不论在何时进行，只要条件相同，都能得到同样的结果，这说明物理规律有时间平移对称性。

对于一个标量场$~\varphi~$，场中的每一点$~P~$都对应一个标量$~\varphi(P)~$. 当场中的每一点$~X~$变换到新的点$~X' = \lambda X~$（$~\lambda~$为变换矩阵）时，我们得到新的场$~\varphi'~$，且有$~\varphi'(X') = \varphi(X)~$.

• 从被动的观点看，有$~\varphi'(X') = \varphi(X) = \varphi(\lambda^{-1}X')~$.
• 从主动的观点看，有$~\varphi'(X') = \varphi(X) \implies \varphi'(X) = \varphi(\lambda^{-1}X)~$.

若有$~\varphi'(X') = \varphi(X')~$即$~\varphi(\lambda X) = \varphi(X)~$，则称$~\varphi~$在变换$~\lambda~$下是不变的（对称的），$~\lambda~$称为$~\varphi~$的一个对称操作。

3. 单参数点变换

我们对力学体系的广义坐标做变换$~\mathscr{Q} : q_k \mapsto Q_k = Q_k(q, t; \varepsilon)~$，其中$~\varepsilon~$可连续取值，且当其取到某个值的时候变换$~\mathscr Q~$为恒等变换。不妨设这个值为$~0~$，即

$$ Q_k \big |_{\varepsilon = 0} = q_k $$

由此可知

• $\displaystyle{\dot q_k \mapsto \dot Q_k = \frac{\partial Q_k}{\partial q_i}\dot q_i + \frac{\partial Q_k}{\partial t} = \dot Q_k (q, \dot q, t, \varepsilon)}$

• 令$~\varepsilon \to 0~$，可做泰勒展开，取一阶近似，有

  $$ q_k \mapsto Q_k = q_k + \varepsilon S_k \\ \dot q_k \mapsto \dot Q_k = \dot q_k + \varepsilon \dot S_k $$

  其中$~S_k = \displaystyle{\left.\frac{\partial Q_k}{\partial q}\right|_{\varepsilon = 0} = S_k(q, t)}~$.

4. 动力学对称性

一个动力学体系的拉格朗日函数是广义坐标、广义速度和时间的函数，即$~L = L(q, \dot q, t)~$. 我们把点变换后的新广义速度、广义加速度以及时间带入其中，给出新的函数$~L_\varepsilon~$的定义，新的函数可以仍然是$~q, \dot q, t~$的函数。即

$$ L_\varepsilon(q, \dot q, t) = L(Q, \dot Q, t) = L(Q(q, t, \varepsilon), \dot Q(q, t, \varepsilon), t) $$

若在此单参数点变换下$~L~$具有规范不变性，即

$$ L_\varepsilon(q, \dot q, t) = L(q, \dot q, t) + \frac{\mathrm d F(q, t, \varepsilon)}{\mathrm d t} $$

那么此系统有动力学对称性。

令$~\varepsilon \to 0~$，可做泰勒展开，取一阶近似有

$$ L_\varepsilon = L + \varepsilon \frac{\mathrm d G}{\mathrm d t} $$

其中$~G = \displaystyle{\left.\frac{\partial F}{\partial q}\right|_{\varepsilon = 0} = G(q, t)}~$.

5. Noether 定理

若变换$~q_k \mapsto Q_k = Q_k (q, t, \varepsilon)~$为体系$~L(q, \dot q, t)~$的对称变换，即

$$ L_\varepsilon(q, \dot q, t) = L(Q, \dot Q, t) = L(q, \dot q, t) + \frac{\mathrm d F(q, t, \varepsilon)}{\mathrm d t} $$

则$~\Gamma = p_kS_k - G~$为运动常数，其中

$$ S_k = \left.\frac{\partial Q_k}{\partial \varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0},\quad G = \left.\frac{\partial F}{\partial q}\right|_{\varepsilon = 0},\quad p_k = \frac{\partial L}{\partial \dot q_k} $$

Noether 定理即是说，若我们能找到一个对称变换，就说明体系有一个对应的运动常数。对称与守恒由此联系起来。

由 Noether 定理可以得到很多常见的守恒关系。例如由空间平移可以得到动量守恒，由空间转动可以得到角动量守恒。